A função seno é definida pela lei: f(x)=
a+b.sen(cx+d), com b e c diferentes de 0, com domínio =R e imagem = [-1 a 1] e
período 2π.
Legenda:
- Imagem - Período
Cada
um desses coeficientes tem uma função, podem alterar o período, a imagem ou o
ponto de partida do gráfico.
Observando
o gráfico, percebemos que a imagem da função foi alterada, passou de [-1;1]
para [0;2], logo somou-se 1 unidade nos limites da imagem, ou seja, a imagem é
de (-1+1)0 a 2(1+1).
Logo, o coeficiente a interfere na imagem,
Im = [-1+a;1+a].
Se
o coeficiente b for 2, temos a função: f(x)= 2sen x
Observando
gráfico, percebemos que a imagem da função foi alterada, passou de [-1,1] para
[-2;2], logo multiplicou-se 2 unidades nos limites da imagem, ou seja, a imagem
é de (-1.2)-2 a 2(1.2).
Logo,
o coeficiente b também interfere na imagem da função, Im = [-1.b;1.b] =>
[-b;b]
Unindo
as duas fórmulas de imagens obtidas, temos Im= [a-b;b+a].
Se
o coeficiente c for 2, temos a função: f(x)= sen 2x.
Observando
gráfico, percebemos que o período foi alterado, passou de 2π para π, logo “dividiu
se” 2π pelo valor de c.
Se
o coeficiente c for ½, temos a função: f(x)= sen x/2.
Observando gráfico, percebemos que o período foi alterado, passou de 2π para 4π, logo multiplicou-se 2π por 2.
Logo,
conseguimos estabelecer um padrão: P= 2π/ |c|.
Se
o coeficiente d for π/2, temos a função: f(x) = sen (x+ π/2)
Se
o coeficiente d for -π/2, temos a função: f(x) = sen (x - π/2).
Observando
o gráfico, percebemos que o gráfico que antes “tinha inicio” em 0, inicia em
π/2.
Para
a construção de gráficos, devemos que saber que o coeficiente a desloca o
gráfico verticalmente (a>0- vai pra cima; a<0- vai pra baixo), o
coeficiente d desloca o gráfico horizontalmente (d>0- vai pra esquerda;
d<0 – vai pra direita) e os coeficientes a e b influenciarão na amplitude
(imagem) e c provoca mudança no período.
E lembrando que a função: f(x)= (x - π/2) é
igual a função: f(x)=cos x, portanto podemos chamar o gráfico do cosseno de
senóide, assim como o do seno.
Informações
adicionais que contribuem muito para a construção de gráficos e identificação
dos coeficientes:
O
ponto a é a origem do gráfico no eixo y.
O
ponto d é a origem do gráfico no eixo x.
O
b é metade da distância das extremidades da imagem.
Quando
o gráfico completa seu primeiro meio círculo, o ponto onde ele termina indica a
metade do período.
Se
sabemos o período de uma função e ela não tem os demais coeficientes que
interferem na construção do gráfico, podemos construir o gráfico a partir de 5
pontos que envolvem o período:
Quando
o coeficiente b ou o coeficiente c admitirem valores negativos, o gráfico será
decrescente assim como o de –sen x, pois sen –x = -sen x. Exemplo: sen (-2x)
=> (-1)sen (2x) => -sen (2x).
Quando
o coeficiente b e o coeficiente c forem negativos, o gráfico será crescente
assim como o da função original (sen x). Exemplo: -sen (-2x) => - (-1)sen
(2x)=> sen (2x).
A função cosseno sempre será igual à seno,
quando o coeficiente d admitir os valores: -π/2; -3π/2; π/2 e 3π/2. E o sinal
da função (crescente >0 ou decrescente < 0) são vistas assim:
1Q 3Q
Cos (-x+π/2) = sen x Cos (-x+3π/2) = -sen
x
2Q 4Q
Cos (x+π/2) = - sen x Cos
(x+3π/2) = sen x
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