Soma de n fatores de uma PA

Demonstrando a fórmula da soma de n fatores de uma PA:


1 + 2 + 3 + 4 ..........  97 + 98 + 99 + 100


Descobriu-se que a soma do primeiro número somado com o último número de uma sequência tinha soma igual ao segundo com o penúltimo, ao terceiro com o antepenúltimo e assim por diante... Logo, aplicando os seguintes padrões achou-se uma fórmula que generaliza a soma dos fatores de um sequência aritmética:


Sn = a1 + a2 + a3 + a4 .... + an            +               
Sn = an + an-1 + an-2 + an2 ... + a1
2Sn = (a1+ an) + (an-1 + a2) + (an-2 + a3) + (a1 + an) =>
2Sn = (a1+ an) + (a1+ an) + (a1+ an) + (a1+ an) + (a1+ an).... =>
2Sn = n. (a1+ an)
Sn = n. (a1+ an) -> Ess é a fórmula geral para a acharmos a soma de uma PA de n fatores.




Obs.:  *Dizer que a soma é = a1 + a2 + a3 + a4 .... + an  ou que é  an + an-1 + an-2 + an2 ... + a1 não tem importância, pois a ordem dos fatores não altera a soma.
*Como a soma de a1+an é igual à soma de an-1 + a2, an-2 + a3 e assim por diante, podemos escrever tudo como a1 +an.
*Como são n fatores, essa soma se repetirá n vezes.