Revisão: razão e proporção - Matemática Financeira

Razão entre dois números reais a e b, com b diferente de 0, é a divisão de a e b.

a/b = k

Proporção entre quatro números em forma de razão, é igualdade entre duas razões.

a/b = c/d = k

Para resolver uma proporção basta aplicar a propriedade fundamental da proporção, ou seja, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

a/b = c/d => a.d = b.c

          * Inversamente proporcional: Quando uma grandeza envolvida aumenta e a outra diminui.
---------------------> +
Grandeza 1: lx l a l c l e l
Grandeza 2: lx'l b l d l f l
 -  <-------------------------    OBS.: x aumenta e x' diminui

Logo:

a/1/b = c/1/d = e/1/f = k

*Diretamente proporcional: Quando uma grandeza envolvida aumente e a outra grandeza também aumenta.
---------------------> +
Grandeza 1: lx l a l c l e l
Grandeza 2: lx'l b l d l f l

 -  <-------------------------   OBS.: x aumenta e x' diminui

          Logo:

       a/b = c/d = e/f = k


EXEMPLOS do livro Conexões com a Matemática:




8) Se em uma bicicleta a catraca possui 36 dentes e a coroa ,48, qual é o número de pedaladas (número de voltas dadas pela coroa) que um ciclista deve realizar para que a roda traseira (número de voltas dadas pela catraca) realize 100 voltas? R.: Quando a coroa dá uma volta (48 dentes), a catraca dá 1 volta e meia (36+12).
Quando a coroa dá duas voltas (96 dentes [2.48]), a catraca dá duas voltas + 24 ([2.36]72 + 24 dentes).
Quando a coroa dá três voltas (144 dentes [3.48]), a catraca dá 4 voltas completas (144 dentes [4.36])
*Tudo isso, porque quando a coroa dá uma volta, a catraca também tem que dar, mas girando a mesma quantidade de dentes que a coroa.
Logo, 36.4 = 48.3 sendo 4 o número de voltas da catraca e 3 o número de voltas da coroa. Então como quero saber o número de voltas da coroa, quando o número de voltas da catraca é 100, posso generalizar dizendo:
Se 36. Vca = 48. Vco => 36. Vca/48 = Vco => 36.100/48 = Vco => Vco= 75 voltas.
Vca= 100 voltas
Vco= ?


O número de dentes é inversamente proporcional ao número de voltas:
Dca/1/Vca = Dco/1/Vco


12)Três aparelhos de telefone celular custam ao todo 2.200,00 reais. Calcule o preço de cada um, sabendo que os preços são inversamente proporcionais às suas massas: 50g, 100g e 150g.
R.: PRcelular1 + PRcelular2 + PRcelular3 = 2.200 reais (I)
PRcelular1 é inversamente proporcional à sua massa: 50 g => PRcelular1/1/50 => PRcelular1 x 50 (II)
PRcelular2 é inversamente proporcional à sua massa: 100 g => PRcelular2/1/100 => PRcelular2 x 100 (III)
PRcelular3 é inversamente proporcional à sua massa: 150 g => PRcelular3/1/150 => PRcelular3 x 150 (IV)


PRcelular1 x 50 + PRcelular2 x 100 +  PRcelular3 x 150 = K
 
Logo, PRcelular1 = K/50 (V); PRcelular2 = K/100 (VI); PRcelular3= K/150 (VII).


Substituindo os valores de (V), (VI) e (VII) na (I) para achar o valor de K:


K/50 + K/100 + K/150= 2.200 reais (VIII)
........





C= 6.000.000 -> Vo
Mantônio = após 2 anos de investimento -> 2. Vo / 4 anos de investimento = 2.Vo + 4.Vo (6 anos)
Msócio = 1.200.000 (2.Vo) ao ano => 2 anos de investimento = 2. 2.Vo/ 4 anos de investimento = 4. 2.Vo => 8.Vo
L = 350.000 (após 4 anos)


Sabemos que o lucro de Antônio mais o lucro do Sócio é igual ao lucro total, pois este será repartido entre os dois:
La + Ls = 350.000


O lucro é proporcional ao investimento:
La/ Mantônio = Ls/ Msócio = K => La/ 6 x Vo = Ls/8 x Vo = K


Isolando La e Ls:
La = K x 6 x Vo
Ls = K x 8 x Vo


Substituindo os "valores" de La e Ls na primeira relação temos:
La + Ls = 350.000 => K x 6 x Vo + K x 8 x Vo = 350.000 => 14 x Vo x K = 350.000 =>
K = 350.000/14 x Vo


Substituindo K nas equações de La e Ls, temos:
La = 350.000 x 6 x Vo /14 x Vo => La = 350.000 x 6/14 => La = 150 000
Ls = 350.000 x 8 x Vo /14 x Vo => Ls = 350.000 x 8/14  => Ls = 200 000